Arithmétique

Nombres entiers

Entier naturel

Def

Un nombre entier naturel est un nombre entier qui est positif.

L’ensemble des nombres entiers naturels est noté $\N$.

$$\N=\left\{0 ;1 ;2 ;3 ;4 ;…\right\}$$

Ex

  • $4\in\N$
  • $-2 \notin \N$

Entier relatif

Def

Un nombre entier relatif est un nombre entier qui est positif ou négatif.

L’ensemble des nombres entiers relatifs est noté $\Z$.

$$\Z = \left\{…;-3 ; -2 ; -1 ; 0 ;1 ;2 ;3 ;…\right\}$$

Ex

  • $14\in\Z$
  • $-4 \in \Z$
  • $0.33\notin\Z$

Multiples et diviseurs

Multiple et diviseur

Def

Soit $a$ et $b$ deux entiers. On dit que $a$ est un multiple de $b$ s’il existe un entier $k$ tel que :

$$a = k\times b$$

On dit alors que $b$ est un diviseur de $a$.

Ex

  • $15~$ est multiple de $~3~$ car $~15=5\times 3\qquad$ …et $~3$ est un diviseur de $15$
  • $7~$ est un diviseur de $~21~$ car $~21=7\times 3\qquad$ …et $~21$ est multiple de $7$
  • $5~$ n’est pas un multiple de $~17~$ car il n’existe pas d’entier $k$ tel que $17=k\times 5$

Tables du $3$ et du $5$

Somme de deux multiples

Prop

La somme de deux multiples d’un entier $a$ est un multiple de $a$.

Ex

  • $15$ est multiple de $3\quad(3\times 5=15)$
  • $21$ est multiple de $3\quad(3\times 7=21)$

Donc $(15+21)=36$ est multiple de $3\quad(3\times 12=36)$

Demo

Soit $b$ et $c$ deux multiples de $a$.

  • $b$ est un multiple de $a$ donc il existe un entier $k_1$ tel que $b = a\times k_1$
  • $c$ est un multiple de $a$ donc il existe un entier $k_2$ tel que $c = a\times k_2$

On a :

$$\begin{aligned}(b + c)&= a\times k_1 +a\times k_2\\&=a\times (k_1 + k_2)\\&=a\times k\qquad\quad\text{où }~k=k_1+k_2\end{aligned}$$

Or, $k = k_1+k_2$ est un entier car somme de deux entiers

Donc $(b+c)=a\times k\quad$ avec $k$ entier $\Rightarrow (b + c)$ est donc un multiple de $a$.

Methode

Résoudre un problème avec des multiples ou des diviseurs

Montrons que la somme de trois entiers consécutifs est un multiple de 3.

Soit trois entiers consécutifs : $\textcolor{blue}{(n)}$, $\textcolor{red}{(n+1)}$ et $\textcolor{green!30!black!50}{(n+2)}$, où $n$ est un entier quelconque.

Leur somme est :

$$ \begin{aligned} S & =\textcolor{blue}{n}+(\textcolor{red}{n+1})+(\textcolor{green!30!black!50}{n+2}) \\ & =n+n+1+n+2 \\ & = 3n+3\qquad=3(n + 1) \end{aligned} $$

Soit $k$ l’entier tel que $k=n+1$.

Donc $S = 3k$, avec $k$ entier $\quad\Rightarrow S$ est un multiple 3.

Nombres pairs, impairs

Pair / impair

Def

  • Un nombre pair est un multiple de $2$.
  • Un nombre impair est un nombre qui n’est pas pair.

Ex

  • $34$, $68$, $9756786$ et $0$ sont des nombres pairs.
  • $567$, $871$ et $1$ sont des nombres impairs.

Propriétés : pair / impair

Prop

  • Un nombre pair s’écrit sous la forme $~(2k)~$, avec $k$ entier.
  • Un nombre impair s’écrit sous la forme $~(2k+1)~$, avec $k$ entier.

Prop

Le carré d’un nombre impair est impair.

Ex

  • $13^2=169$
  • $5^2=25$
  • $\ldots$

Demo

Soit $a$ est un nombre impair.

On peut l’écrire sous la forme $a=2k+1$, avec $k$ entier.

On a :

$$ \begin{aligned} a^2&= (2k + 1)^2\\ &= 4k^2 +4k + 1\\ &= 2\underbrace{\left(\textcolor{blue}{2k^2 + 2k}\right)}_{k’} + 1\\ &= 2\textcolor{blue}{k’} + 1\qquad\text{avec}~\textcolor{blue}{k’=2k^2+2k} \end{aligned} $$

$k’$ est entier car somme de deux entiers

$a^2$ s’écrit sous la forme $~a^2=2k’+1\qquad\Rightarrow a^2$ est impair.

Methode

Résoudre un problème avec des nombres pairs ou impairs

Montrons que le produit de deux entiers consécutifs est un nombre pair.

Soit deux entiers consécutifs $~\textcolor{red}{n}~$ et $~\textcolor{blue}{n+1}~$.

1er cas : $n$ pair

Si $n$ est pair, alors il s’écrit sous la forme $~n=2k~$, avec $k$ entier.

Alors le produit des deux entiers consécutifs s’écrit :

$$\begin{aligned}\textcolor{red}{n}(\textcolor{blue}{n+1})&=2\underbrace{k(2k+1)}_{k_1}\\&=2k_1\qquad\text{avec }~k_1 =k(2k+1)~\text{ entier}\end{aligned}$$

Donc $n(n+1)$ est pair.

2ème cas : $n$ impair

Si $n$ est impair, alors il s’écrit sous la forme $~n = 2k+1~$, avec $k$ entier.

Alors le produit des deux entiers consécutifs s’écrit :

$$\begin{aligned}\textcolor{red}{n}(\textcolor{blue}{n+1})&=(2k+1)(2k+2)\\&=2\underbrace{(2k+1)(k+1)}_{k_2}\\&=2k_2\qquad\text{avec }~k_2 =(2k+1)(k+1)~\text{ entier}\end{aligned}$$

Donc $n(n+1)$ est pair.

Dans tous les cas, le produit de deux entiers consécutifs est un nombre pair.

Nombres premiers

Définition : Nombre premier

Def

Un nombre est premier s’il possède exactement deux diviseurs qui sont $1$ et lui-même.

Ex

$\quad 2$, $3$, $5$, $7$, $11$, $13$, $17$, $19$, $23$, …

Les nombres premiers de 1 à 100 :

Les nombres premiers de $1$ à $100$

Un très grand nombre premier : 22 989 432 637 682 048 935 578 359 759 258 512 929 075 458 593 285 426 151 563 351 225 878 608 019 921 960 174 786 937 174 324 066 918 557 552 262 283 220 478 419 095 917 521 791 323 874 771 300 201 334 066 843 810 139 337 069 250 339 905 576 793 882 539 603 587 327 037 857 904 876 391 811 440 492 908 489 972 485 276 368 673 701 887

Rem

Le nombre $1$ n’est pas premier car il n’a qu’un seul diviseur.

Deux nombres premiers entre-eux

Def

On dit que deux nombres sont premiers entre eux lorsque leur seul diviseur commun est $1$.

Ex

$20$ et $21$ sont premier entre-eux car :

  • $20=5\times 2\times 2\times \textcolor{red}{1}$
  • $21=7\times 3\times \textcolor{red}{1}$

Décomposition d’un nombre

Prop

Tout nombre non premier peut se décomposer en produits de facteurs premiers.

Cette décomposition est unique (à l’ordre des facteurs près).

Ex

Décomposons $420$ en facteurs premiers

$$\begin{array}{l|r}420 & 2\\210 & 2\\105 & 3\\35 & 5\\7 & 7\\1 &~\end{array}$$

Donc $\quad 420\quad=2\times 2\times 3\times 5\times 7\quad=2^2\times 3^1\times 5^1\times 7^1$

Ex

Décomposons $150$, $729$, $1485$, $378$ et $1260$ en facteurs premiers

Méthode de décomposition en facteurs premiers

Fraction irréductible

Def

On dit qu’une fraction est irréductible, lorsque son numérateur et son dénominateur sont premiers entre eux.

Ex

  • $\cfrac{7}{5}$ est irréductible
  • $\cfrac{21}{144}$ n’est pas irréductible car $\cfrac{21}{144}=\cfrac{7\times 3}{48\times 3}=\cfrac{7}{48}\qquad\Rightarrow\cfrac{7}{48}$ est irréductible.

Methode

Rendre une fraction irréductible

Rendons irréductible la fraction $\cfrac{60}{126}$.

Pour rendre une fraction irréductible, il faut décomposer son numérateur et son dénominateur en produits de facteurs premiers.

$$ \begin{array}{l|r}60 & 2\\30 & 2\\15 & 3\\5 & 5\\1 &~\end{array} \qquad\begin{array}{l|r}126 & 2\\63 & 3\\21 & 3\\7 & 7\\1 &~\end{array} $$

On ainsi les décompositions de $60$ et $126$ :

$$60 = 2\times 2\times 3\times 5\qquad 126 = 2\times 3\times 3\times 7$$

On a :

$$\frac{60}{126}\quad= \frac{\textcolor{red}{2} \times 2 \times \textcolor{red}{3} \times 5}{\textcolor{red}{2} \times 3 \times \textcolor{red}{3} \times 7}\quad= \frac{2 \times 5}{3 \times 7}\quad=\frac{10}{21}$$

$10$ et $21$ sont premiers entre eux, donc:

$\cfrac{10}{21}$ est la fraction irréductible égale à $\cfrac{60}{126}$