Droites du plan

Methode

Déterminer graphiquement un vecteur directeur d’une droite

❓ Donner des vecteurs directeurs des droites $d_1$, $d_2$, $d_3$ et $d_4$.

Methode

Déterminer une équation cartésienne à partir d’un point et d’un vecteur directeur

❓ Déterminer une équation cartésienne de la droite $(d)$ passant par le point $A\left(3 ; 1\right)$ et de vecteur directeur $~\vec{u}\begin{pmatrix}-1\\5\end{pmatrix}$.

Méthode 1️⃣ :

Soit un point $M(x ; y)$ de la droite $(d)$.

Les vecteurs $~\textcolor{green}{\vec{AM}}~$ et $~\textcolor{blue}{\vec{u}}~$ sont colinéaires.

On a $\quad\vec{AM}\begin{pmatrix}x - 3 \\y - 1 \end{pmatrix}$ et $\vec{u}\begin{pmatrix} - 1 \\5 \end{pmatrix}$

$$ \begin{aligned} \textcolor{green}{\vec{AM}}\text{ et }\textcolor{blue}{\vec{u}}\text{ colinéaires } & \Lrarr \det\left( \vec{\text{AM}} ;\vec{u} \right) = 0 \\ \quad & \Lrarr \left| \begin{matrix}x - 3 & - 1 \\ y - 1 & 5 \end{matrix} \right| = 0 \\ \quad & \Lrarr 5(x-3)-(y-1)(-1)=0 \\ \quad & \Lrarr 5x+y-16=0 \end{aligned} $$

Une équation cartésienne de $(d)$ est : $~5x+y-16=0~$

Méthode 2️⃣ :

Le vecteur $\vec{u}\begin{pmatrix} \textcolor{blue}{-1}\\\textcolor{green}{5}\end{pmatrix}$ est un vecteur directeur de $(d)$ donc l’équation de la droite est de la forme :

$$\textcolor{green}{5}x+\textcolor{blue}{1}y+c=0$$ Le point $A\left(3 ; 1\right)$ appartient à la droite $(d)$ donc ses coordonnées vérifient l’équation :

$$ \begin{aligned} 5x_A+y_A+c=0 & \Lrarr 5\times 3+ 1 +c=0 \\ & \Lrarr 16 + c=0 \\ & \Lrarr c=-16 \end{aligned} $$

Une équation cartésienne de $(d)$ est : $~5x+y-16=0$

Methode

Représenter graphiquement une droite d’équation réduite

❓ Tracer les droites $d_1$, $d_2$ et $d_3$ d’équations réduites respectives :

• $y = 2x + 3$
• $y = 4$
• $x = 3$

La droite $~d_1~$ d’équation $~y =2x +3~$ a pour ordonnée à l’origine $3$.

Donc le point $~A\left(0;3\right)~$ appartient à la droite $~d_1~$.

Soit $~B~$ le point d’abscisse $1$ appartenant à la $~d_1~$.

Les coordonnées de $~B~$ vérifient l’équation de $~d_1~$, donc :

$$ \begin{aligned} y_B & = 2\times x_B + 3 \\ & = 2\times (1) + 3 = 5 \end{aligned} $$

Le point $~B\left(1;5\right)~$ appartient à la droite $~d_1~$.

On peut ainsi tracer la droite $~d_1~$ passant par $~A\left(0;3\right)~$ et $~B\left(1;5\right)~$.

La droite $~d_2~$ d’équation $~y = 4~$ est l’ensemble des points dont l’ordonnée est égale à $4$.

$~d_2~$ est donc la droite parallèle à l’axe des abscisses coupant l’axe des ordonnées au point de coordonnées $~\left(0;4\right)~$

La droite $~d_3~$ d’équation $~x=3~$ est l’ensemble des points dont l’abscisse est égale à $3$.

$~d_3~$ est donc la droite parallèle à l’axe des ordonnées coupant l’axe des abscisses au point de coordonnées $~\left(3;0\right)~$

Methode

Vérifier si un point appartient à une droite d’équation donnée

❓ Les points $~A\left(6.4~;~42\right)~$ et $~B\left(346~; 2419\right)~$ appartiennent-ils à $~(d)~$ d’équation $~y=7x-3~$ ?

Dire que le point $~A\left(6.4~; 42\right)~$ appartient à la droite $~(d)~$ d’équation $~y=7x-3~$ revient à dire que les coordonnées de $~A~$ vérifient l’équation de $~(d)~$.

$$ \begin{aligned} 7\times x_A-3 & = 7\times 6.4-3 \\ & =41.8\neq 42 \\ \end{aligned} $$

Donc $~y_A \neq 7\times x_A-3\Rarr~$ Le point $~A~$ n’appartient pas à $~(d)~$.

Dire que le point $~B\left(346~; 2419\right)~$ appartient à la droite $~(d)~$ d’équation $~y=7x-3~$ revient à dire que les coordonnées de $~B~$ vérifient l’équation de $~(d)~$.

$$ \begin{aligned} 7\times x_B-3 & = 7\times 346-3 \\ & =2419=y_B \end{aligned} $$

Donc $~y_B =7\times x_B-3\quad\Rightarrow~$ Le point $~B~$ appartient à $~(d)~$.

Methode

Déterminer une équation réduite de droite dont on connaît deux points

Soit $~A\left(4 ; -1\right)~$ et $~B\left(3 ; 5\right)~$ deux points d’une droite $~(d)~$.

❓ Déterminer une équation de la droite $(d)$.

On a $~A\left(4 ; -1\right)~$ et $~B\left(3 ; 5\right)~$

On a $~x_A\neq x_B~$ donc la droite $~(d)~$ n’est pas parallèle à l’axe des ordonnées. L’équation de $~(d)~$ est de la forme : $~y = mx + p~$

où $~m~$ et $~p~$ sont deux nombres réels.

Le coefficient directeur de $(d)$ est :

$$m=\cfrac{y_{B} - y_{A}}{x_{B} - x_{A}}=\cfrac{5-(-1)}{3-4}=-6$$

L’équation de $~(d)~$ est donc de la forme : $~y=-6x+p~$

Comme $~A\left(4 ; -1\right)~$ appartient à $~(d)~$, ses coordonnées vérifient l’équation de $~(d)~$ soit :

$$ \begin{aligned} & y_A & = & -6\times x_A+p \\ \Lrarr & -1 & = & -6\times 4+p \\ \Lrarr & p & = & -1+6\times 4=23 \\ \end{aligned} $$

Une équation de $(d)$ est donc : $~y = -6x + 23~$

Methode

Démontrer que deux droites sont parallèles

❓ Démontrons que les droites $(d_1): 6x-10y-5=0$ et $(d_2):-9x+15y=0$ sont parallèles.

• Le vecteur $\vec{u}\left(10;6\right)$ est un vecteur directeur de la droite $(d_1)$.
• Le vecteur $\vec{v}\left(-15;-9\right)$ est un vecteur directeur de la droite $(d_2)$.

Calculons $\det\left(\vec{u} ;\vec{v} \right)$ :

$$\det\left(\vec{u};\vec{v}\right)=\left| \begin{matrix}10&-15\\6&-9\end{matrix} \right| \quad=10\times\left(-9\right)-6\times\left(-15\right)\quad=0$$

Donc $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires et $(d_1)\parallel(d_2)$.