Ensemble de nombres

Les entiers

Définition et représentation

Rem

Dans le lycée, il y a un ensemble d’humains. Parmi eux, il y a des élèves et parmi ces élèves il y a des secondes.

Def

Parmi les nombres entiers, il existe :

  • Entiers naturels : $\N$
    • Entiers (sans partie décimale) positifs : $1$ ; $4$ ; $999\ldots$
  • Entiers relatifs : $\Z$
    • Entiers positifs ou négatifs : $-6$ ; $-77$ ; $98$ ; $114$ $\ldots$

Ex

  • $17$ appartient à $\N$ et à $\Z\qquad\Rightarrow 17\in\N\quad\text{et}\quad17\in\Z$
  • $(-2)$ n’appartient pas à $\N\qquad\Rightarrow (-2)\notin\N$
  • $157 \ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots$ à $\N\qquad\Rightarrow 157 \ldots\ldots\ldots \N$

Multiples – diviseurs

Def

Soit $a$ et $b$, deux nombres entiers.

On dit que $a$ est un multiple $b$ s’il existe un entier $k$ tel que :

$$a=k\times b$$

On dit aussi que $b$ est un diviseur de $a$.

Ex

  • $27=3\times 9$ donc :

    • $27$ est multiple de $3$ (et de $9$)
    • $9$ est un diviseur de $27$

  • $85$ n’est pas un multiple de $10$ car :

    • $85=k\times 10\Leftrightarrow k=8.5$ et $k$ pas entier

Prop

Soit $a$ un entier. La somme de deux multiples de $a$, est un multiple de $a$.

Ex

$21$ et $33$ sont des multiples de $3$ donc $54=(21+33)$ est un multiple de $3$.

En effet, $54=18\times 3$

Demo

Soit $n_1$ et $n_2$, deux multiples de $a$ alors :

$n_1=k_1\times a\quad$ et $\quad n_2=k_2\times a$

On a donc :

$n_1+n_2=(k_1\times a)+(k_2\times a)=(k_1+k_2)\times a$

Donc : $(n_1+n_2)$ est multiple de $a$

Pair – impair

Def

Un nombre pair est un multiple de $2$.

  • Si $~n~$ est pair alors $~n=2k~$ avec $~k\in\Z~$
  • Si $~n~$ est impair alors $~n=2k+1~$ avec $~k\in\Z~$

Ex

  • $~157~$ est impair car $~157=(2\times 78)+1~$
  • $~2048~$ est pair car $~2048=(2\times 1024)~$

Prop

Le carré d’un nombre impair est impair

Demo

Soit $n$ un nombre impair. On a donc $\quad n=2k+1$

$$ \begin{aligned} n^2 & =(2k+1)^2=(2k+1)(2k+1) \\ & =4k^2+4k+1 \\ & =2\color{red}(2k^{2}+2k)\color{black}+1 \\ & =2\color{red}K\color{black}+1 \end{aligned} $$

Si $n$ est impair alors $n^2$ est impair.

Nombres premiers

Def

Un entier naturel est dit premier, s’il admet exactement deux diviseurs entiers positifs.

Ex

  • $25$ admet comme diviseurs $1$, $5$ et $25$ $\rightarrow$ pas premier
  • $17$ admet comme diviseurs $1$ et $17\rightarrow\quad$ premier
  • $221$ admet comme diviseurs $\ldots\rightarrow\quad\ldots$
Les $100$ premiers nombres premiers

Décomposition en facteurs premiers

Ex

  • $60=30\times 2\quad=15\times 2\times 2\quad=5\times 3\times 2\times 2$

Methode

Méthode pour décomposer $60$ :

$$\begin{array}{r|l}60 & 2\\30 & 2\\15 & 3\\5 & 5 \\1 & ~\\ \end{array}$$

La décomposition de $60$ en facteurs premiers est : $~60=3^1\times 5^1\times 2^2$

Ex

  • $1300=\ldots$

$$\begin{array}{r|l}1300 & 2\\650 & \ldots\\ \ldots & \ldots\\ \ldots & \ldots\\ \ldots & \ldots\\ \ldots & \ldots\end{array}\qquad\qquad\begin{array}{r|l}\ldots &\ldots\\ \ldots & \ldots\\ \ldots & \ldots\\ \ldots & \ldots\\ \ldots & \ldots\end{array}$$

Les ensembles $\D$, $\Q$ et $\R$

Les décimaux : $\D$

Def

Nombres dont la partie décimale est finie. On peut les écrire sous la forme :

$$\dfrac{a}{10^n}\quad\text{avec}\quad a\in\Z$$

Ex

À vous de compléter : $\qquad 0.009=\ldots\ldots\qquad\text{et}\qquad\dfrac{-1234}{10^2}=\ldots\ldots$

Ex

  • $1.77=\frac{177}{100}=\frac{177}{10^2}\iff 1.77 \in \D$

  • $-5.001=\frac{-5001}{1000}=\frac{-5001}{10^3}\iff -5.001\in\D$

Demo

Démontrons que $\frac{1}{3}$ n’ appartient pas aux décimaux.

Supposons que $\frac{1}{3}$ appartient aux décimaux alors il peut s’écrire sous la forme : $\dfrac{a}{10^n}$

$$ \begin{aligned} \dfrac{1}{3}\in\D\qquad & \Leftrightarrow\qquad\dfrac{1}{3}=\dfrac{a}{10^n} \\ \qquad & \Leftrightarrow\qquad 3\times a=1\times{10^n} \\ \qquad & \Leftrightarrow\qquad 3a=10^n \\ \end{aligned} $$

On a :

  • $3a$ est un multiple de $3$ donc la somme des ses chiffres doit être un multiple de $3$.
  • $10^n$ est un nombre constitué d’un seul $1$ et de zéros donc la somme des ses chiffres est $1$.

Donc $10^n$ n’est pas un multiple de $3$,$\quad$ donc $10^n\neq 3\times a\quad$ donc $\frac{1}{3}\notin\D$

Les rationnels : $\Q$

Def

Ils peuvent s’écrire sous la forme : $\quad\dfrac{a}{b}\quad$ avec $~a\in\Z~$ et $~b\in\Z^{*}$

Ex

  • $\dfrac{2}{7}\in\Q$

  • $\dfrac{1}{3}=0.3333\ldots\in\Q$

  • $\dfrac{50}{7}=7.142~857~142~857~\ldots\in\Q$

Rem

La partie décimale peut se “répéter” à l’infini.

Les réels : $\R$

Def

Tous les nombres connus en 2nde.

Ex

$-16$ ; $\sqrt{3}$ ; $\pi$ ; $\ldots$

Les ensembles de nombres❤️

Intervalles de $\R$ et valeur absolue

Intervalles de $\R$

Def

L’ensemble $I$ de tous les nombres réels $x$ tels que $~2 \le x \le 4~$ peut se représenter sur une droite graduée :

Cet ensemble est appelé un intervalle et se note :

$$I=\big[2~;~4\big]$$

Ex

L’ensemble $J$ des réels $x$ tels que $~ -2\le x\le 7~$ se note : $~J=\big[-2~;~7\big]$

On a : $\quad 4\in[-2~;~7]\quad$ et $\quad -5\notin[-2~;~7]$

Ex

Notation Inégalité Représentation
$\lbrack 0 ; 1\rbrack $ $0\le x \le 1$
$\rbrack -1 ; 3\rbrack $ $-1\lt x \le 3$
$\lbrack -0.5 ; 2.3\lbrack $ $-0.5\le x \lt 2.3$
$\rbrack 2 ; 4\lbrack $ $2\lt x \lt4$
$\rbrack -\infty ; 1.5\rbrack $ $x \le 1.5$
$\rbrack -\infty ; -1.7\lbrack $ $x \lt -1.7$
$\rbrack -2 ; +\infty\lbrack $ $x \gt -2$
$\lbrack 2.7 ; +\infty\lbrack $ $x \ge 2.7$

Rem

L’ensemble $\R$ est un intervalle qui se note : $\R=\big]-\infty~;~+\infty\big[$

Union et intersection d’intervalles

Def

  • L’intersection de deux ensembles $A$ et $B$ est l’ensemble des éléments qui appartiennent à $A$ et à $B$ et se note : $\boxed{A \cap B}$
  • L’union de deux ensembles $A$ et $B$ est l’ensemble des éléments qui appartiennent à $A$ ou à $B$ et se note : $\boxed{A \cup B}$

Ex

$\quad I=\big[0~;~3\big]\qquad\text{et}\qquad J=\big[1~;~5\big]$

Valeur absolue

Def

La distance de deux réels $a$ et $b$ est la distance des points $A$ et $B$ d’abscisses $a$ et $b$ sur la droite numérique.

Ex

Rem

  • Si $(a\lt b)$ alors la distance est $\left(b-a\right)$
  • Si $(a\gt b)$ alors la distance est $\left(a-b\right)$

On note la distance : $\quad\abs{a-b}\quad$ et on lit $\quad$ valeur absolue de $(a-b)$

Ex

La distance de $5$ à $18$ est $\quad\left|5-18\right|=18-5=13$

Def

La valeur absolue d’un réel $x$ est la distance de ce réel à $0$.

Elle est notée : $\qquad\abs{x}$

Ex

La valeur absolue de $-4$ est la distance de $-4$ à $0$. On a : $\abs{-4}=4$

Ex

  • $\abs{3}=3$
  • $\abs{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$
  • $\abs{-4}=4$
  • $\abs{-0.177}=0.177$

Prop

On a, pour tout $x\in\R$ :

$$\boxed{\left|x\right|=\begin{cases}x\quad&\text{si}~x\ge 0\\-x\quad&\text{si}~x\lt 0\end{cases}}$$

Ex

  • $\abs{3}=3\quad$ car $~3\gt 0$
  • $\abs{-7}=-(-7)=7\quad$ car $~(-7)\lt 0$

Prop

L’intervalle $\big[a-r~;~a+r\big]$ est l’ensemble des $x$ tel que : $\qquad\abs{x-a}\le r$

Ex

L’ensemble des nombres $x$ tel que $\lvert x-5\rvert \le 3$ est l’intervalle $I=\big[5-3~;~5+3\big]=\big[2~;~8\big]$