Probabilité

Ex

“Lancer cette roue et noter le gain obetnu”

Ex

• Expérience aléatoire : “Choisir, au hasard, une lettre dans l’alphabet”

  • $\Omega =\lbrace A;B;C;D;E;F;G;H;…;X;Y;Z\rbrace$

• $E_1=\lbrace A;E;I;O;U\rbrace $ est un événement.

  • En français, cet événement se traduit par : $E_1:$ “La lettre choisie est une voyelle”

• $E_2=\lbrace K;W;X;Y;Z\rbrace $ est un autre événement.

  • Ce second événement se traduit par : $E_2:$ “La lettre choisie vaut 10 pts”

Ex

• Expérience aléatoire : “Lancer un dé”

• Univers : $\Omega=\lbrace 1;2;3;4;5;6\rbrace $

• Événements :

  • A : “Obtenir un nombre pair” $\quad\Rightarrow A :\lbrace 2 ;4 ;6\rbrace $
  • B : “Obtenir un nombre $>4$” $\quad\Rightarrow B :\lbrace 5 ;6\rbrace $

• Événement certain : “Obtenir un nombre entre $1$ et $6$”

• Événement impossible : “Obtenir $7$”

Ex

• Exp. aléatoire : “Lancer un dé”

• Univers : $\Omega=\lbrace 1;2;3;4;5;6\rbrace $

On a :

$$ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}\hline \rule[-3mm]{0mm}{9mm}e_i & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6\\ \hline \rule[-3mm]{0mm}{9mm}P(e_i)&\cfrac{1}{6}&\cfrac{1}{6}&\cfrac{1}{6}&\cfrac{1}{6}&\cfrac{1}{6}&\cfrac{1}{6}\\ \hline \end{array} $$

Ex

Une urne contient $10$ boules ($3$ rouges, $2$ vertes, $5$ noires)

• Exp. aléatoire : “On tire une boule et on note sa couleur“

• Univers : $\Omega :\lbrace\text{\color{Red}{Rouge}} ; \text{\color{green}{Verte}} ; \text{\color{Black}{Noire}} \rbrace$

• Loi de probabilité :

$$ \begin{array}{|c|c|c|c|}\hline e_i&\text{\color{Red}{Rouge}} &\text{\color{green}{Verte}}& \text{\color{Black}{Noire}}\\ \hline \rule[-3mm]{0mm}{9mm}P(e_i)&\cfrac{3}{10}=0.3&\cfrac{2}{10}=0.2&\cfrac{5}{10}=0.5\\ \hline\end{array} $$

Ex

• Exp. aléatoire : “Lancer un dé non truqué“

• Univers : $\Omega=\lbrace 1;2;3;4;5;6\rbrace $

On a : $\quad P(“1”)=P(“2”)=…=P(“6”)=\cfrac{1}{6}$

C’est une situation d’équiprobabilité.

Ex

“Lancer une piece non truquée”, “Choisir une carte au hasard”, …

Ex

Si $\quad A:\lbrace e_1;e_3;e_7\rbrace \quad$ alors $\quad P(A)=P(e_1 )+P(e_3)+P(e_7)$

Ex

• Exp. aléatoire : “Lancer un dé”
• Univers : $\Omega=\lbrace 1;2;3;4;5;6\rbrace $
• Événements :
  • $A:~$”Obtenir un nombre pair”$\quad\Rightarrow A:\lbrace 2;4;6\rbrace $
  • $B:~$”Obtenir un nombre $\gt 4$”$\quad\Rightarrow B:\lbrace 5;6\rbrace $

On a :

• $P(A)=P(“2”)+P(“4”)+P(“6”)=\cfrac{1}{6}+\cfrac{1}{6}+\cfrac{1}{6}=\quad\cfrac{3}{6}$
• $P(B)=P(“5”)+P(“6”)=\cfrac{1}{6}+\cfrac{1}{6}=\quad\cfrac{2}{6}$

Ex

• Exp. aléatoire : “Lancer un dé” $~\Rightarrow~$ Univers : $\Omega=\lbrace 1;2;3;4;5;6\rbrace $
• Événements :
  • $A:~$”Obtenir un nombre pair”$\quad\Rightarrow A:\lbrace 2;4;6\rbrace $
  • $B:~$”Obtenir un nombre $>4$”$\quad\Rightarrow B:\lbrace 5;6\rbrace $

On a :

• L’événement contraire de $A$ :
  • $\overline{A}:~$ “Obtenir un nombre impair” $\quad\Rightarrow\overline{A}:\lbrace 1;3;5\rbrace $
• L’intersection de $A$ et de $B$ :
  • $A \cap B:~$ “Obtenir un nombre pair $\boxed{\text{et}}$ $>4$” $\quad\Rightarrow A \cap B:\lbrace 6\rbrace $
• L’union de $A$ et de $B$ :
  • $A \cup B:~$ “Obtenir un nombre pair $\boxed{\text{ou}}$ $>4$” $\quad\Rightarrow A \cup B:\lbrace 2;4;5;6\rbrace $

Ex

On tire une boule dans l’urne, et on note le nombre inscrit.

• $\Omega=\lbrace 1;2;3;4\rbrace $
• Événement
  • $A:~$”Tirer une boule n°1 ou n°2”$\quad\Rightarrow A:\lbrace 1;2\rbrace $
  • $C:~$”Tirer une boule n°1 ou n°3”$\quad\Rightarrow C:\lbrace 1;3\rbrace $

On a :

• $\overline{A}:\lbrace 3;4\rbrace \quad\Rightarrow~$Les issues de $\Omega$ qui ne sont pas dans $A$.
• $A\cap C:\lbrace 1\rbrace \quad\Rightarrow~$Les issues “en commun” de $A$ et $C$.
• $A\cup C:\lbrace 1;2;3\rbrace \quad\Rightarrow~$La réunion de $A$ et $C$.

On peut représenter la situation à l’aide d’un diagramme de Venn :

$$\overline{A}:\lbrace 3;4\rbrace \qquad A\cap C:\lbrace 1\rbrace \qquad A\cup C:\lbrace 1;2;3\rbrace $$

Ex

On tire une boule dans l’urne, et on note le nombre inscrit.

On a :

• $\Omega=\lbrace \text{1};\text{2};\text{3};\text{4}\rbrace $

• Loi de probabilité :

$$ \begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline e_i&\text{1}&\text{2}&\text{3}&\text{4}\\ \hline \rule[-3mm]{0mm}{9mm}P(e_i)&\cfrac{2}{8}=0.25&\cfrac{2}{8}=0.25&\cfrac{3}{8}=0.375&\cfrac{1}{8}=0.125\\ \hline \end{array} $$

Soit $~B:~$”Obternir $\text{2}$ ou $\text{4}$”$\quad\Rightarrow B:\lbrace \text{2};\text{4}\rbrace $

On a :

$$ \begin{array}{rccccc} P(B) & = & P(\text{2}) & + & P(\text{4}) \\ & = & \cfrac{2}{8} & + & \cfrac{1}{8} & =\cfrac{3}{8}=0.375 \end{array} $$

Donc : $~P\left(\overline{B}\right)=1-P(B)=1-0.375=0.625$

Vérification :

• $B:~$”Obternir $\text{2}$ ou $\text{4}$”$\quad\Rightarrow B:\lbrace \text{2};\text{4}\rbrace $
• $\overline{B}:~$”Obternir $\text{1}$ ou $\text{3}$”$\quad\Rightarrow \overline{B}:\lbrace \text{1};\text{3}\rbrace $

$$ \begin{array}{rccccc} P\left(\overline{B}\right) & =& P(\text{1}) & + & P(\text{3}) \\ & =& \cfrac{2}{8} & + & \cfrac{3}{8}&=\cfrac{5}{8}=0.625 \end{array} $$

Ex

Soit $\quad A:\lbrace \text{1};\text{2}\rbrace \quad$ et $\quad C:\lbrace \text{1};\text{3}\rbrace\quad$ Donc $\quad A\cap C:\lbrace 1 \rbrace$

On a :

• $P(A)=P(\text{1})+P(\text{2})=\cfrac{2}{8}+\cfrac{2}{8}=\cfrac{4}{8}$
• $P(C)=P(\text{1})+P(\text{3})=\cfrac{2}{8}+\cfrac{3}{8}=\cfrac{5}{8}$
• $P(A\cap C)=P(\text{1})=\cfrac{2}{8}$

Donc, on a :

$$ \begin{array}{rccccc} P(A\cup C) & = & P(A) & + & P(C) & - & P(A\cap C) \\ ~ & = & \cfrac{4}{8} & + & \cfrac{5}{8} & - & \cfrac{2}{8} & =\cfrac{7}{8} \end{array} $$

Vérification :

$A:\lbrace \text{1};\text{2}\rbrace \quad$ et $\quad C:\lbrace \text{1};\text{3}\rbrace \quad$ Donc $\quad A\cup C:\lbrace \text{1};\text{2};\text{3}\rbrace $

Donc, on a :

$$ \begin{array}{rccccc} P(A\cup C) & = & P(\text{1}) & + & P(\text{2}) & + & P(\text{3}) \\ & = & \cfrac{2}{8} & + & \cfrac{2}{8} & + & \cfrac{3}{8} & =\cfrac{7}{8} \end{array} $$