Probabilité et échantillonnage

Ex

• Sur l’ensemble des cartes à puce produites par une entreprise en une semaine, on en prélève $200$.

  • On dit que cet ensemble de $200$ cartes à puce constitue un échantillon de taille 200 de la population de toutes les cartes à puce produites en une semaine.

• On s’intéresse aux intentions de vote lors d’une élection. On sonde $1000$ personnes en leur demandant leur intention de vote.

  • L’ensemble de ces $1000$ personnes constitue un échantillon de taille 1000 de la population totale des électeurs.

• On lance une pièce de monnaie $50$ fois de suite et on note les résultats obtenus.

  • L’ensemble de ces $50$ lancers constitue un échantillon de taille 50.

Ex

On considère l’expérience aléatoire qui consiste à lancer un dé à 6 faces.

Le programme Python suivant permet de simuler cette expérience.

from random import *

def de():
    r=randint(1,6)
    return(r)

On exécute le programme et on obtient l’affichage ci-dessous.

>>> de()
2

Cela signifie que le logiciel a simulé un lancer de dé et on a obtenu un “2”.

La règle du jeu veut que si le résultat est “3” ou “4”, on gagne. Dans le cas contraire, on perd.

On répète $n$ fois de suite cette expérience à deux issues (gagner ou perdre) consistant à lancer le dé.

On modifie et complète le programme afin de simuler $n$ lancers de dé.

Le programme affiche le nombre de fois que l’on gagne.

from random import *

def de(n):
  s=0
  for i in range(n):
    r=randint(1,6)
    if r==3 or r==4:
      s=s+1
  return(s)

La variable n désigne le nombre de lancers. La variable s permet de compter le nombre de fois que l’on gagne.

On exécute le programme et on obtient l’affichage ci-dessous. Cela signifie que sur $100$ lancers, on a gagné $35$ fois.

>>> de(100)
35

Ex

Modifions le programme afin d’afficher en sortie la fréquence de jeux gagnés sur un échantillon de $n$ lancers de dé.

Il suffit de remplacer dans la dernière ligne return(s) (l’effectif) par return(s/n) (la fréquence).

from random import *

def de(n):
  s=0
  for i in range(n):
    r=randint(1,6)
    if r==3 or r==4:
      s=s+1
  return(s/n)

Exécutons le programme pour des valeurs de $n$ de plus en plus grandes.

>>> de(10)
0.6
>>> de(100)
0.39
>>> de(1000)
0.356
>>> de(10000)
0.3342
>>> de(100000)
0.33221

Plus $n$ devient grand, plus les fréquences observées semblent se rapprocher d’une valeur théorique égale à $~\frac{1}{3}$ .

En effet, la probabilité de gagner (obtenir “3” ou “4”) est égale à $\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$

Ex

Si l’on choisit, au hasard une lettre dans l’alphabet, la fréquence d’apparition du $A$ sera proche de $\frac{1}{26}$

Ex

On se propose maintenant de répéter $N$ fois la simulation de l’expérience aléatoire précédente.

Dans chaque cas, pour $n$ suffisamment grand, la fréquence observée $f$ devrait être proche de la probabilité théorique $p = \frac{1}{3}$.

On veut calculer la proportion des cas pour lesquels l’écart entre $f$ et $p$ est inférieur ou égale à $\frac{1}{\sqrt{n}}$

from random import *       ## Pour la fonction 'randint'
from math import *         ## Pour les fonctions : 'sqrt' (racine carrée)
                           ##                    : 'abs'  (valeur absolue)

def de(n):                 ## Simule 'n' lancers de dé
  s=0                      ## et retourne la _fréquence_ de jeux gagnés
  for k in range(n):
    r=randint(1,6)
    if r==3 or r==4:
      s=s+1
  return(s/n)

def estim(N,n):            ## Répète 'N' fois la fonction 'de(n)'
  c=0                      ## Renvoi la proportion de fois où ...
  p=1/3                    ## ... la différence entre f et p est inf. à 1/sqrt(n)
  for k in range(N):
    f=de(n)
    if abs(f-p) < (1/sqrt(n)) :   ## abs(f-p) : Différence entre f et p
      c=c+1                       ## 1/sqrt(n) : 1/racine(n)
  return(c/N)

Exécutons le programme avec $n=10~000$ et pour différente valeur de $N$

>>> estim(10,10000)
0.8
>>> estim(40,10000)
0.91
>>> estim(50,10000)
0.96
>>> estim(100,10000)
0.94
>>> estim(100,10000)
0.95
>>> estim(1000,10000)
0.956

On trouve des valeurs proches de $0.95$. Cela signifie que dans $95\%$ des cas, l’écart entre la fréquence observée $f$ et la probabilité $p$ est inférieur à $0.01$.

En effet, on a $~\frac{1}{\sqrt{n}}=\frac{1}{\sqrt{10~000}}=0.01$

On a: $$\quad p-\frac{1}{\sqrt{n}}~\lt~f~\lt~p+\frac{1}{\sqrt{n}}$$

Ex

Le graphique ci-dessous représente les fréquences d’apparition d’un caractère, au sein d’une population, dans des échantillons de taille $n$.

Les fréquences observées semble situées entre $~0.5~$ et $~0.6$

On peut alors estimer que la probabilité d’apparition du caractère est de :

$$p=\dfrac{0.5+0.6}{2}=0.55$$

On peut aussi estimer la taille de l’échantillon $n$.

$$ \begin{array}{rcll} p+\dfrac{1}{\sqrt{n}}=0.6 & \iff & 0.55+\dfrac{1}{\sqrt{n}}=0.6 & ~ \\ ~ & \iff & \dfrac{1}{\sqrt{n}}=0.05 & ~ \\ ~ & \iff & \sqrt{n}=\dfrac{1}{0.05} & =20 \\ ~ & \iff & n=20^2\quad & =400 \end{array} $$